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已知,如图,点C是线段AB上的任意一点(C点与A、B点不重合),分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.(1)求证:△ACE≌

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已知,如图,点C是线段AB上的任意一点(C点与A、B点不重合),分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.

(1)

求证:△ACE≌△DCB;

(2)

求证:MN∥AB;

(3)

若线段AB的长为10cm,当点C在线段AB上移动时,是否存在这样的一点C,使线段MN的长度最长?若存在,请确定C点的位置并求出MN的长;若不存在,请说明理由.

▼优质解答
答案和解析
1.证明(略).;

(2)

  证明:由(1)知,△ACE≌△DCB,∠AEC=∠DBC,

  又∵EC=CB,∠MCE=∠ECB=

  ∴△CME≌△CNB.∴CM=CN.

  又∵∠MCN=,∴△CMN是等边三角形.

  ∴∠MNC=∠NCB=

  ∴MN∥AB

(3)

  设AC=x,MN=y.

  ∵MN∥AB,

  

  又∵CB=EC=10-x,CN=y,EN=10-x-y,

  ∴

  即y=-x2+x=-(x-5)2+2.5(0<x<10).

  ∴当x=5时,y有最大值为2.5cm.

  ∴当C点是AB的中点时,线段MN的最大长度是2.5cm.