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以三角形ABC的AB,AC为斜边向外作RT三角形ABD和RT三角形ACE,且使角ABD等于角ACE,M是BC的中点,求证DM=EM
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以三角形ABC的AB,AC为斜边向外作RT三角形ABD和RT三角形ACE,且使角ABD等于角ACE,M是BC的中点,求证DM=EM
▼优质解答
答案和解析
AB,AC的中点是P,Q.连接MP,MQ
所以PM平行AQ,MQ平行AP,所以APMQ是平行四边形,PM=AQ,MQ=AP.
在直角三角形ACE中,EQ是中线,所以EQ=1/2AC=AQ
在直角三角形ABD中,DP是中线,所以DP=1/2AB=AP
所以EQ=PM,DP=MQ
∠BPD=180-2∠ABD,∠CQE=180-2∠ACE,所以∠BPD=∠CQE
APMQ是平行四边形,所以∠CQM=∠BAC=∠BPM
所以∠EQM=∠CQE+∠CQM=∠BPD+∠BPM=∠DPM
所以三角形DPM全等三角形EQM,所以MD=ME
所以PM平行AQ,MQ平行AP,所以APMQ是平行四边形,PM=AQ,MQ=AP.
在直角三角形ACE中,EQ是中线,所以EQ=1/2AC=AQ
在直角三角形ABD中,DP是中线,所以DP=1/2AB=AP
所以EQ=PM,DP=MQ
∠BPD=180-2∠ABD,∠CQE=180-2∠ACE,所以∠BPD=∠CQE
APMQ是平行四边形,所以∠CQM=∠BAC=∠BPM
所以∠EQM=∠CQE+∠CQM=∠BPD+∠BPM=∠DPM
所以三角形DPM全等三角形EQM,所以MD=ME
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