如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，AD⊥BC，BD=23，延长AD到E，使AE=2AD，连接BE．（1）求证：△ABE为等边三角形；（2）将一块含60°角的直角三角板PMN如图放置，其中点P与点E重合，且∠NEM=60

Question

如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，AD⊥BC，BD=2√(3)，延长AD到E，使AE=2AD，连接BE．

（1）求证：△ABE为等边三角形；
（2）将一块含60°角的直角三角板PMN如图放置，其中点P与点E重合，且∠NEM=60°，边NE与AB交于点G，边ME与AC交于点F．求证：BG=AF；
（3）在（2）的条件下，求四边形AGEF的面积．

Answer 1

（1）AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAE=∠CAE=(1)/(2)BAC=60°，∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°-∠BAE=30°，
∴AB=2AD，
∵AE=2AD，
∴AB=AE，
∵∠BAE=60°，
∴△ABE是等边三角形．
（2）∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=∠AEB=60°，
AE=BE，
由（1）∠CAE=60°
∴∠ABE=∠CAE，
∵∠NEM=∠BEA=60°，
∴∠NEM-∠AEN=∠BEA-∠AEN，
∴∠AEF=∠BEG，
在△BEG与△AEF中，

∠GBE=∠FAE

BE=AE

∠BEG=∠AEF

∴△BEG≌△AEF（ASA）
∴BG=AF；
（3）由（2）可知：△BEG≌△AEF，
∴S_△BEG=S_△AEF，
∴S_{四边形AGEF}=S_△AEG+S_△AEF
=S_△AEG+S_△BEG
=S_△ABE
∵△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4，
∴S_△ABE=(1)/(2)AE•BD=(1)/(2)×4×2√(3)=4√(3)，
∴S_{四边形AGEF}=4√(3)