如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=2，A＝π6．D为AC延长线上一点，且CD=3+1．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．

Question

如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=√(2)，A＝(π)/(6)．D为AC延长线上一点，且CD=√(3)+1．
（Ⅰ）求∠BCD的大小；
（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．

Answer 1

（本小题满分13分）
（Ⅰ）在△ABC中，
因为AB＝2，A＝(π)/(6)，BC＝√(2)，
由正弦定理可得(AB)/(sin∠ACB)＝(BC)/(sinA)，
即(2)/(sin∠ACB)＝(√(2))/(sin(π)/(6))＝(√(2))/((1)/(2))＝2√(2)，
所以sin∠ACB＝(√(2))/(2)．
因为∠ACB为钝角，所以∠ACB＝(3π)/(4)．
所以∠BCD＝(π)/(4)．   …（6分）
（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD²=CB²+DC²-2CB•DC•cos∠BCD，
即BD2＝(√(2))2+(√(3)+1)2−2•√(2)•(√(3)+1)•cos(π)/(4)，
整理得BD=2．
在△ABC中，由余弦定理可知BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA，
即(√(2))2＝22+AC2−2•2•AC•cos(π)/(6)，
整理得AC2−2√(3)AC+2＝0．解得AC＝√(3)±1．
因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以AC＝√(3)−1．
所以△ABC的面积S＝(1)/(2)AC•AB•sinA＝(1)/(2)×2×(√(3)−1)×(1)/(2)＝(√(3)−1)/(2)．…．（13分）