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如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,G是AD上的一点,BG,CG分别平分∠ABC,∠ACB,GH⊥BC,垂足为H,求证:(1)∠BGC=90°+12∠BAC;(2)∠1=∠2.
题目详情
如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,G是AD上的一点,BG,CG分别平分∠ABC,∠ACB,GH⊥BC,垂足为H,求证:
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(1)∠BGC=90°+
∠BAC;
(2)∠1=∠2.
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(1)∠BGC=90°+
1 |
2 |
(2)∠1=∠2.
▼优质解答
答案和解析
(1)由三角形内角和定理可知:∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC,
∵BG,CG分别平分∠ABC,∠ACB,
∠GBC=
∠ABC,∠GCB=
∠ACB
∴∠GBC+∠GCB=
(∠ABC+∠ACB)=
(180°-∠BAC)=90°-
∠BAC
∴∠BGC=180°-(∠GBC+∠GCB)=180°-
(∠ABC+∠ACB)=90°+
∠BAC;
(2)∵AD是它的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD
∴∠1=∠BAD+∠ABG,
∵GH⊥BC,
∴∠GHC=90°
∴∠2=90°-∠GCH
=90°-
∠ACB
=90°-
(180°-∠DAC-∠ADC)
=
∠DAC+
∠ADC
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD,
∴
∠ADC=
∠ABC+∠
∠BAD
=∠ABG+
∠BAD,
∴∠2=
∠DAC+
∠ADC
=
∠BAD+
∠BAD+∠ABG
=∠BAD+∠ABG,
∴∠1=∠2,
∵BG,CG分别平分∠ABC,∠ACB,
∠GBC=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠GBC+∠GCB=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠BGC=180°-(∠GBC+∠GCB)=180°-
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)∵AD是它的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD
∴∠1=∠BAD+∠ABG,
∵GH⊥BC,
∴∠GHC=90°
∴∠2=90°-∠GCH
=90°-
1 |
2 |
=90°-
1 |
2 |
=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD,
∴
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
=∠ABG+
1 |
2 |
∴∠2=
1 |
2 |
1 |
2 |
=
1 |
2 |
1 |
2 |
=∠BAD+∠ABG,
∴∠1=∠2,
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