如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，G是AD上的一点，BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，GH⊥BC，垂足为H，求证：（1）∠BGC=90°+12∠BAC；（2）∠1=∠2．

Question

如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，G是AD上的一点，BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，GH⊥BC，垂足为H，求证：

（1）∠BGC=90°+(1)/(2)∠BAC；
（2）∠1=∠2．

Answer 1

（1）由三角形内角和定理可知：∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∵BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，
∠GBC=(1)/(2)∠ABC，∠GCB=(1)/(2)∠ACB
∴∠GBC+∠GCB=(1)/(2)（∠ABC+∠ACB）=(1)/(2)（180°-∠BAC）=90°-(1)/(2)∠BAC
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-(1)/(2)（∠ABC+∠ACB）=90°+(1)/(2)∠BAC；
（2）∵AD是它的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD
∴∠1=∠BAD+∠ABG，
∵GH⊥BC，
∴∠GHC=90°
∴∠2=90°-∠GCH
=90°-(1)/(2)∠ACB
=90°-(1)/(2)（180°-∠DAC-∠ADC）
=(1)/(2)∠DAC+(1)/(2)∠ADC
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，
∴(1)/(2)∠ADC=(1)/(2)∠ABC+∠(1)/(2)∠BAD
=∠ABG+(1)/(2)∠BAD，
∴∠2=(1)/(2)∠DAC+(1)/(2)∠ADC
=(1)/(2)∠BAD+(1)/(2)∠BAD+∠ABG
=∠BAD+∠ABG，
∴∠1=∠2，