已知无穷数列10^（0/5）,10^（1/5）,10^（2/5）…10^（n-1/5）求证：（1）这个数列是等比数列（2）这个数列中的任何一项是它后面第5项的1/10（3）这个数列的任意两项积仍在这个数列中

Question

已知无穷数列10^（0/5）,10^（1/5）,10^（2/5）…10^（n-1/5）
求证：（1）这个数列是等比数列
（2）这个数列中的任何一项是它后面第5项的1/10
（3）这个数列的任意两项积仍在这个数列中

Answer 1

1.由已知得,An＝10^（n-1/5）
∴A﹙n-1﹚＝10^（n-2/5﹚
∴An／A﹙n-1﹚＝10^1／5﹙常数﹚
∴An为等比数列
2.设其中一项为An,则它后面第5项为A﹙n+5﹚＝10^（n＋4/5）
∴An／A﹙n+5﹚＝10^（n-1/5）／10^（n＋4/5）
＝1／10
即这个数列中的任何一项是它后面第5项的1/10
3.设任意两项为An和Am,
则An×Am＝10^（n-1/5）×10^（m-1/5）
＝10^﹛（m+n-2）／5﹜
＝10^﹛（m+n-1﹚-1﹜／5﹜
符合An的通项公式
∴这个数列的任意两项积仍在这个数列中