已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+Sn=2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证数列{an}中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；（3）若从数列{an}中依次抽取一个无限多项

Question

已知数列{a _n }的前n项和为S _n ，且满足a _n +S _n =2．
（1）求数列{a _n }的通项公式；
（2）求证数列{a _n }中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；
（3）若从数列{a _n }中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项和S满足 ，这样的等比数列有多少个？

Answer 1

（1）当n=1时，a ₁ +S ₁ =2a ₁ =2，则a ₁ =1．
又a _n +S _n =2，
∴a _n+1 +S _n+1 =2，两式相减得 ，
∴{a _n }是首项为1，公比为 的等比数列
∴
（2）反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a _p+1 ，a _q+1 ，a _r+1 （p＜q＜r）
则 ，∴2●2r﹣q=2 ^r﹣p +1（*）
又∵p＜q＜r
∴r﹣q，r﹣p∈N*
∴*式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立
∴假设不成立原命题得证．
（3）设抽取的等比数列首项为 ，公比为 ，项数为k，
且满足m，n，k∈N，m≥0，n≥1，k≥1，
则
又∵
∴
整理得： ①
∵n≥1  ∴2 ^m﹣n ≤2 ^m﹣1 ．
∴
∴m≥4
∵    ∴
∴m≥4
∴m=4将m=4代入①式整理得     ∴n≥4
经验证得n=1，2不满足题意，n=3，4满足题意．
综上可得满足题意的等比数列有两个．