已知数列{an}的通项为an＝log(n+1)(n+2)(n∈N*)，我们把使乘积a1•a2•a3…an为整数的n叫做“优数”，则在（1，2012]内的所有“优数”的和为（）A．1024B．2012C．2026D．2036

Question

已知数列{a_n}的通项为an＝log(n+1)(n+2)  (n∈N*)，我们把使乘积a₁•a₂•a₃…a_n为整数的n叫做“优数”，则在（1，2012]内的所有“优数”的和为（　　）

A．1024
B．2012
C．2026
D．2036

Answer 1

∵a_n=log_n+1（n+2）
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）
=(lg3)/(lg2)•(lg4)/(lg3)•(lg5)/(lg4)…(lg(n+2))/(lg(n+1))
=(lg(n+2))/(lg2)
=log₂（n+2）
若使log₂（n+2）为整数，则n+2=2^k
在（1，2012]内的所有整数分别为：2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2
∴所求的数的和为2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2=(4(1−29))/(1−2)=2026．
故选：C．