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已知函数f(x)=|lgx|,x>0x+7,x≤0,若关于x的方程f(x2+2x)=a有6个不相等的实根,则实数a的取值范围是()A.(0,6]B.(0,7]C.(6,7]D.(6,7)

题目详情
已知函数f(x)=
|lgx|,x>0
x+7,x≤0
,若关于x的方程f(x2+2x)=a有6个不相等的实根,则实数a的取值范围是(  )

A.(0,6]
B.(0,7]
C.(6,7]
D.(6,7)
▼优质解答
答案和解析
∵f(x2+2x)=a,
∴|lg(x2+2x)|=a(x2+2x>0)或x2+2x+7=a(x2+2x≤0),
∴x2+2x-10a=0或x2+2x-10-a=0或x2+2x+7-a=0(7-a≥0)
若关于x的方程f(x2+2x)=a有6个不相等的实根,
则上述三个方程都有两个不同的根,且方程之间也没有同根;
方程x2+2x-10a=0和x2+2x-10-a=0显然都有两个不同的根,
方程x2+2x+7-a=0有两个不同的根,
则△=4-4(7-a)>0(a≤7)
解得,6<a≤7.
∵两个方程的二次项系数及一次项系数相同,但常数项互不相同,
∴三个方程也没有相同的根,
则有6个根.
故选C.