已知函数f（x）=x2-ax-aln（x-1）（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；（2）求函数f（x）的单调区间．

Question

已知函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）的定义域是（1，+∞）
当a=1时，f（x）=x²-x-ln（x-1），
f′(x)＝2x−1−(1)/(x−1)＝(2x(x−(3)/(2)))/(x−1)，
当x∈(1，(3)/(2))时，f^′（x）＜0，
所以f （x）在(1，(3)/(2))为减函数．
当x∈((3)/(2)，+∞)时，f^′（x）＞0，
所以f （x）在((3)/(2)，+∞)为增函数，
则当x=(3)/(2)时，f（x）有极小值，也就是最小值．
所以函数f （x）的最小值为f((3)/(2))=(3)/(4)+ln2．
（2）f′(x)＝2x−a−(a)/(x−1)＝(2x(x−(a+2)/(2)))/(x−1)，
若a≤0时，则(a+2)/(2)≤1，f（x）=(2x(x−(a+2)/(2)))/(x−1)＞0在（1，+∞）恒成立，
所以f（x）的增区间为（1，+∞）．
若a＞0，则(a+2)/(2)＞1，故当x∈(1，(a+2)/(2)]，f′（x）=(2x(x−(a+2)/(2)))/(x−1)≤0，
当x∈[(a+2)/(2)，+∞)时，f（x）=(2x(x−(a+2)/(2)))/(x−1)≥0，
所以a＞0时f（x）的减区间为(1，(a+2)/(2)]，f（x）的增区间为[(a+2)/(2)，+∞)．