已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）设函数g(x)＝log2(a•2x−43a)，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设函数g(x)＝log2(a•2x−(4)/(3)a)，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数
∴f（-x）=log₂（4^-x+1）-kx=f（x）=log₂（4^x+1）+kx恒成立
即log₂（4^x+1）-2x-kx=log₂（4^x+1）+kx恒成立
解得k=-1
（2）∵a＞0
∴函数g(x)＝log2(a•2x−(4)/(3)a)的定义域为（log2(4)/(3)，+∞）
即满足2x＞(4)/(3)
函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，
∴方程log₂（4^x+1）-x=log2(a•2x−(4)/(3)a)在（log2(4)/(3)，+∞）有且只有一解
即：方程(4x+1)/(2x)＝a•2x−(4)/(3)a在(log2(4)/(3)，+∞)上只有一解
令2^x=t，则t＞(4)/(3)，因而等价于关于t的方程(a−1)t2−(4)/(3)at−1＝0（*）在((4)/(3)，+∞)上只有一解
当a=1时，解得t＝−(3)/(4)∉((4)/(3)，+∞)，不合题意；
当0＜a＜1时，记h(t)＝(a−1)t2−(4)/(3)at−1，其图象的对称轴t＝(2a)/(3(a−1))＜0
∴函数h(t)＝(a−1)t2−(4)/(3)at−1在（0，+∞）上递减，而h（0）=-1
∴方程（*）在((4)/(3)，+∞)无解
当a＞1时，记h(t)＝(a−1)t2−(4)/(3)at−1，其图象的对称轴t＝(2a)/(3(a−1))＞0
所以，只需h((4)/(3))＜0，即(16)/(9)(a−1)−(16)/(9)a−1＜0，此恒成立
∴此时a的范围为a＞1
综上所述，所求a的取值范围为a＞1．