已知函数f（x）=(2^x+a)/(2^x+b)是定义在R上的奇函数1,求实数a,b的值；2,判断f（x）在定义域上的单调性3,当x属于（0,1]时,t乘f(x)大于等于(2^x)-2恒成立,求实数的取值范围

Question

已知函数f（x）=(2^x+a)/(2^x+b)是定义在R上的奇函数
1,求实数a,b的值；2,判断f（x）在定义域上的单调性3,当x属于（0,1]时,t乘f(x)大于等于(2^x)-2恒成立,求实数的取值范围

Answer 1

1.代特殊值简单些.由于f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,即(1+a)/(1+b)=0,a=-1
由f(-1)=-f(1)得　(1/2 -1)/(1/2 +b)=-(2-1)/(2+b),解得b=1
所以f(x)=(2^x-1)/(2^x+1) 注：当然,也可以由f(-x)=-f(x),比较系数求出a,b的值
2.f(x)=(2^x+1-2)/(2^x+1)=1-2/(2^x+1),所以f(x)是R是的增函数.
3.因为2^x>0,所以　f(x)=1-2/(2^x+1)>1-2/1=0
由t•f(x)≥2^x - 2,得t≥(2^x - 2)/f(x)=(2^x -2)(2^x +1)/(2^x -1)
令g(x)=(2^x -2)(2^x +1)/(2^x -1)
则t≥[g(x)]max,x∈(0,1]
而g(x)=[(2^x)²-2^x -2]/(2^x -1)=[(2^x -1)² +2^x -1 -2]/(2^x -1)=2^x -1 +1 -2/(2^x -1)
=2^x -2/(2^x -1)
所以　g(x)是增函数,在x∈(0,1]的最大值为g(1)=0
从而　t≥0