已知函数f（x）=kx+3，x≥0(12)x，x<0，若方程f（f（x））-2=0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是（）A.[0，+∞）B.[1，3]C.（-1，-13]D.[-1，-13]

Question

已知函数f（x）=

kx+3，x≥0

((1)/(2))x，x<0

，若方程f（f（x））-2=0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A. [0，+∞）

B. [1，3]

C. （-1，-

(1)/(3)]

D. [-1，-

(1)/(3)]

Answer 1

令f（t）=2得t=-1或t=-(1)/(k)（k≠0）．
∵f（f（x））-2=0，∴f（f（x））=2，
∴f（x）=-1或f（x）=-(1)/(k)（k≠0）．
（1）当k=0时，做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）=-1无解，即f（f（x））-2=0无解，不符合题意；
（2）当k>0时，做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）=-1无解，f（x）=-(1)/(k)无解，即f（f（x））-2=0无解，不符合题意；
（3）当k<0时，做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）=-1有1解，
∵f（f（x））-2=0有3解，∴f（x）=-(1)/(k)有2解，
∴1<-(1)/(k)≤3，解得-1<k≤-(1)/(3)．
综上，k的取值范围是（-1，-(1)/(3)]．
故选C．