已知函数f（x）=1/2x的平方-alnx,a∈R是常数1若a=2,求这个函数的图像在x=1处的切线方程2f（x）在区间〔1,e〕上的最小值

Question

已知函数f（x）=1/2x的平方-alnx,a∈R是常数
1若a=2,求这个函数的图像在x=1处的切线方程 2 f（x）在区间〔1,e〕上的最小值

Answer 1

答：

（1）a=2,f(x)=x²/2-alnx=x²/2-2lnx,x>0

求导：f'(x)=x-2/x

x=1时,f'(1)=1-2/1=-1

f(1)=1/2-2ln1=1/2

所以：切线斜率为-1,经过点（1,1/2)

所以：切线方程为y=-(x-1)+1/2=-x+3/2

（2）f(x)=x²/2-alnx,x>0

求导：f'(x)=x-a/x=(x²-a)/x

因为：1<=x<=e

所以：

当a<=1时,f'(x)>0,f(x)在是增函数,f(x)>=f(1)=1/2,f(x)的最小值为1/2

当1<a<e²时,f'(x)=(x²-a)/x在区间[1,e]上存在零点x=√a,在该零点取得最小值：

f(x)>=f(√a)=a/2-aln(√a)=a(1-lna)/2

当a>=e²时,f'(x)<0,f(x)是减函数,f(x)>=f(e)=e²/2-alne=e²/2-a

综上所述：

a<=1时,f(x)的最小值为1/2；

1<a<e²时,f(x)的最小值为a(1-lna)/2；

a>=e²时,f(x)的最小值为e²/2-a.