已知f(x)是定义在N*上的数值函数,满足f(2)=2,对任意mn属于N*有f(mn)=f(m)*f(n),当m〉n,f(m)〉f(n),求证f(x）=x在N*上成立.

Question

已知f(x)是定义在N*上的数值函数,满足f(2)=2,对任意m n属于N*有f(mn)=f(m)*f(n),当m〉n,f(m)〉f(n),求证 f(x）=x在N*上成立.

Answer 1

用归纳法可证明
第一步证明在正整数集上f(x)=x
1) 根据f(mn)=f(m)*f(n)有f(2*1)=f(2)*f(1),即2=2*f(1),于是f(1)=1.这样对于1和2,都有f(x)=x
2) 假设对于n以n以下的自然数(n>=2),都有f(x)=x,现在证明对于n+1,同样有f(n+1)=n+1
a) 如果n+1是合数,那么n+1可以分解成两个小于n+1的数的成绩,即n+1=p*q,因为p、q小于等于n,所以f(p)=p,f(q)=q.根据f(mn)=f(m)*f(n)有f(n+1)=f(p*q)=f(p)*f(q)=p*q=n+1
b) 如果n+1是素数,因为大于2的素数必然是奇数,所以n+2必然是偶数,可以分解成2*((n+2)/2),2以及(n+2)/2都小于等于n,根据a)的结论,有f(n+2)=n+2.现在f(n)=n,f(n+2)=n+2,又有当a>b时,f(a)>f(b),那f(n+1)只能等于n+1
3) 根据1)、2)的结论可知在正整数集上有f(x)=x
第二步证明在0和负整数集上同样有f(x)=x
1) 根据f(mn)=f(m)*f(n)有f((-1)*(-1))=f(-1)*f(-1),即1=f(-1)*f(-1),于是f(-1)=1或-1,又a>b时,f(a)>f(b),这样f(-1)=-1.f(-1)=-1、f(1)=1,再利用a>b时,f(a)>f(b)知f(0)=0
2) 对任意的负整数,根据f(mn)=f(m)*f(n)有f(x)=f((-1)*(-x))=f(-1)*f(-x)=-1*(-x)=x