已知函数f（x）=lnx（1）若方程f（x+a）=x有且只有一个实数解，求a的值；（2）若函数g（x）=f（x）+12x2-mx（m≥52）的极值点x1，x2（x1＜x2）恰好是函数h（x）=f（x）-2x2-bx的零点，记h′（x）为

Question

已知函数f（x）=lnx
（1）若方程f（x+a）=x有且只有一个实数解，求a的值；
（2）若函数g（x）=f（x）+(1)/(2)x²-mx（m≥(5)/(2)）的极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）恰好是函数h（x）=f（x）-2x²-bx的零点，记h′（x）为函数h（x）的导函数，求y=（x₁-x₂）h′（(x1+x2)/(2)）的最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）=lnx，
∴f（x+a）=ln（x+a），x＞-a，且x＞0，
∴f（x+a）=x有且只有一个实数解，
分别画出函数y=f（x+a）的图象和y=x的图象，如图所示，
当y=f（x+a）的图象和y=x的图象相切时只有一个实数解，
设切点为（x₀，x₀），
∴k=f′（x₀+a）=(1)/(x0+a)=1，①
x₀=f（x₀+a）=ln（x₀+a），②
解得a=1，
（2）∵g（x）=f（x）+(1)/(2)x²-mx=lnx+(1)/(2)x²-mx，
∴g′（x）=(1)/(x)+x-m=(x2−mx+1)/(x)，
令g′（x）=(x2−mx+1)/(x)=0，
得x²-mx+1=0，
∵函数g（x）=f（x）+(1)/(2)x²-mx（m≥(5)/(2)）的极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=1，
∴x₁-x₂=-√(m2−4)
∵x₁，x₂（x₁＜x₂）恰好是函数h（x）=f（x）-2x²-bx的零点，
即h（x）=f（x）-2x²-bx=lnx-2x²-bx=0由两个解分别为x₁，x₂，
∴h（x₁）=lnx₁-2x₁²-bx₁=0，③
h（x₂）=lnx₂-2x₂²-bx₂=0，④
由③+④得lnx₁-2x₁²-bx₁+lnx₂-2x₂²-bx₂=0，
整理得2m²+bm-4=0，
即b=-2m+(4)/(m)
∵h′（x）为函数h（x）的导函数，
∴h′（x）=(1)/(x)-4x-b，
∴h′（(x1+x2)/(2)）=(2)/(x1+x2)-4（x₁+x₂）-b，
∴y=（x₁-x₂）h′（(x1+x2)/(2)）=-√(m2−4)•（(2)/(m)-4m-b）=-√(m2−4)•（(2)/(m)-4m+2m-(4)/(m)）=√(m2−4)•（2m+(2)/(m)）
设F（m）=√(m2−4)，G（m）=2m+(2)/(m)，
∴G′（m）=(2(m2−1))/(m2)，
∵m≥(5)/(2)，
∴G′（m）＞0，故G（m）=2m+(2)/(m)在m∈[(5)/(2)，+∞）上为增函数，
又F（m）=√(m2−4)在m∈[(5)/(2)，+∞）上为增函数，
∴y=√(m2−4)•（2m+(2)/(m)）在m∈[(5)/(2)，+∞）上为增函数，
∴当m=(5)/(2)时，y有最小值，最小值为y_min=√((25)/(4)−4)•（2×(5)/(2)+2×(2)/(5)）=(87)/(10)