f是有理数域多项式且在有理数域不可约,但知f的一个跟的倒数也是它的根,证f每一根的倒数也是f的根这是道南开大学的考研题求教

Question

f是有理数域多项式且在有理数域不可约,但知f的一个跟的倒数也是它的根,证f每一根的倒数也是f的根
这是道南开大学的考研题 求教

Answer 1

设f(X) = (X-z1)(X-z2).(X-zn) = a0 X^n + a1 X^n-1 + ...+ an,z1的倒数1/z1是f(x)的根,那么
a0 (1/z1)^n + a1 (1/z1)^n-1 + ...+ an = 0
也就是
an z1^n + ...+ a1 z1 + an = 0
设g(X) = an X^n + ...+ a1 X + an（系数和f 刚好倒过来）,那么g(z1) = 0.因为f不可约,所以f是z1的极小多项式.所以f(X)|g(X).但它们次数相同,所以它们只差一个常数倍.于是f的根和g的跟完全相同.所以,对每一个zk
an zk^n + ...+ a1 zk + an = 0
也就是
a0 (1/zk)^n + a1 (1/zk)^n-1 + ...+ an = 0
即f(1/zk)=0