若代数式x（x+1）（x+2）（x+3）+p恰好能分解为两个二次整式的乘积（其中二次项系数均为1且一次项系数相同），则p的最大值是．

Question

若代数式x（x+1）（x+2）（x+3）+p恰好能分解为两个二次整式的乘积（其中二次项系数均为1且一次项系数相同），则p的最大值是______．

Answer 1

设x（x+1）（x+2）（x+3）+p=（x²+ax+m）（x²+ax+n），
则x⁴+6x³+11x²+6x+p=x⁴+2ax³+（a²+m+n）x²+a（m+n）x+mn．
两端比较系数有

a＝3

m+n＝2

mn＝p.

∴p=m（2-m）=2m-m²=1-（m-1）²．
∴当（m-1）²去最小值0时，P的最大值是1．
故答案为：1．