已知数列{an}的前n项和Sn=Aqn+B(q≠0)，则“A=-B“是“数列{an}是等比数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

Question

已知数列{a_n}的前n项和S n=Aqn+B(q≠0)，则“A=-B“是“数列{a_n}是等比数列”的（　　）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

Answer 1

（1）若{a_n}成为公比不等于1的等比数列，则
Sn=(a1(1-qn))/(1-q)=(a1)/(1-q)-(a1qn)/(1-q)，比照S_n=Aqⁿ+B，得
A=(a1)/(1-q)，B=-(a1)/(1-q)故A=-B，
若{a_n}为公比等于1的等比数列，
则：S_n=na₁，比照S_n=Aqⁿ+B，得
A=n，B=0，推不出A≠-B，不是必要条件，
（2）若已知：数列{a_n}前n项和S_n=Aqⁿ+B，A=-B即A+B=0，则
a₁=S₁=Aq+B=A（q-1），
n>1时 an=Sn-S_n-1=aAqⁿ+B-[Aq^n-1+B]=Aq^n-1（q-1），
⇒{a_n}成为公比不等于1的等比数列．
故A+B=0是使{a_n}成为公比不等于1的等比数列的充分不必要条件．
故选：A．