三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可以成为等比数列，求公比

Question

三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可以成为等比数列，求公比

Answer 1

设三个数为 x - d, x, x + d（d ≠ 0）. 三数和 = x - d + x + x + d = 3x = 6. 所以 x = 2. 数列为2 - d, 2, 2 + d. 又因为适当排列后能成等比，所以3个数都可能是等比中项，分别计算之。 （1）如果2 - d是等比中项，那么(2 - d)² = 2(2 + d)，所以d = 6，等差数列是 -4, 2, 8, 等比数列是 2, -4, 8 或者 8, -4, 2. （2）如果2是等比中项，那么4 = (2 - d)(2 + d)，d = 0，舍去。 （3）如果2 + d是等比中项，那么(2 + d)² = 2(2 - d)，所以d = -6，等差数列是 8, 2, -4, 等比数列是与上面一样。