已知n∈N*，数列{an}的各项为正数，前n项的和为Sn，且a1=1，a2=2，设bn=a2n-1+a2n．（1）如果数列{bn}是公比为3的等比数列，求S2n；（2）如果对任意n∈N*，Sn=a2n+n2恒成立，求数列{an}的通项公式；

Question

已知n∈N^*，数列{a_n}的各项为正数，前n项的和为S_n，且a₁=1，a₂=2，设b_n=a_2n-1+a_2n．
（1）如果数列{b_n}是公比为3的等比数列，求S_2n；
（2）如果对任意n∈N^*，S_n=(a2n+n)/(2)恒成立，求数列{a_n}的通项公式；
（3）如果S_2n=3（2ⁿ-1），数列{a_na_n+1}也为等比数列，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）b₁=a₁+a₂=3，∴b_n=3ⁿ=a_2n-1+a_2n．
∴S_2n=3+3²+…+3ⁿ=(3(3n-1))/(3-1)=(3n+1-3)/(2)．
（2）对任意n∈N^*，S_n=(a2n+n)/(2)恒成立，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(a2n+n)/(2)-(a2n-1+n-1)/(2)，化为：(an-1)2=

a

2 n-1

，a_n>0．
∴a_n-1=a_n-1，即a_n-a_n-1=1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（3）∵S_2n=3（2ⁿ-1），且a₁=1，a₂=2，
∴a₁+a₂+a₃+a₄=3×（2²-1）=9=1+2+a₃+a₄，
∴a₃+a₄=6．
∵数列{a_na_n+1}也为等比数列，设公比为q=(an+2)/(an)，
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为q．
∴a₃=q，a₄=a₂q=2q，
∴q+2q=3×2，解得q=2．
∴a2n-1=a1qn-1=2^n-1，
a_2n=a2qn-1=2ⁿ．
可得a_n=

2(n-1)/(2)，n=2k-1

2(n)/(2)，n=2k

（k∈N^*）．