已知定义在R上的函数f(x)满足f(log2x)=x+(a为常数).(1)求f(x)的解析式;(2)当f(x)是偶函数时，试讨论f(x)的单调性.

Question

已知定义在R上的函数f(x)满足f(log ₂ x)=x+ (a为常数).

(1)求f(x)的解析式;

(2)当f(x)是偶函数时，试讨论f(x)的单调性.

Answer 1

解析：
(1)设log2x=t 则x=2t ∴f(t)=2t+ ∴f(x)=2x+(x∈R).(2)若f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x) 即 即 ∴(2x-2-x)(a-1)=0对x∈R恒成立，∴a=1.∴f(x)=2x+(x∈R).设x1＜x2 则f(x1)-f(x2)=∵x1＜x2 ∴＞0.①若x1 x2∈(-∞ 0］ 则x1+x2＜0 ∴＜1.∴f(x1)-f(x2)＞0 f(x1)＞f(x2).故函数f(x)在（-∞，0］上是减函数.②当x1、x2∈(0 +∞) 则x1+x2＞0 ∴＞1.∴f(x1)-f(x2)＜0即f(x1)＜f(x2).故函数f(x)在（0 +∞）上是增函数.或由f(x)是偶函数且在（-∞，0］上是减函数 由对称性可知f(x)在(0 +∞)上是增函数.