如图,⊙O的直径AB⊥CD于E,点M为⊙O上一点,tan∠CDA=1/2.（1）求证：BE=CD（2）若OE=3,求sin∠CMD.如图,⊙O的直径AB⊥CD于E,点M为⊙O上一点,tan∠CDA=1/2.（1）求证：BE=CD（2）若OE=3,求sin∠CMD.

Question

如图,⊙O的直径AB⊥CD于E,点M为⊙O上一点,tan∠CDA=1/2 . （1）求证：BE=CD （2）若OE=3,求sin∠CMD.
如图,⊙O的直径AB⊥CD于E,点M为⊙O上一点,tan∠CDA=1/2 .
（1）求证：BE=CD
（2）若OE=3,求sin∠CMD.

Answer 1

①∵⊙O的直径AB⊥CD于E ∴CD=2DE 又∵tan∠CDA=½ ∴AE∶DE=½ ∴设AE=x,则DE=2x
连接OD 在RT⊿ODE中 OD=R OE=R—x 由勾股定理得：（R—x)²+(2x)²=R² 解得 R=2.5x
OE=1.5x ∴BE=2.5x+1.5x=4x 而CD=2DE=4x ∴BE=CD
②若OE=3 即1.5x =3 ∴x=2 则DE=4 BE= CD=8 AE=2 R=OD=5
⒈点M在优弧CBD上 则∠CMD=∠EOD ∴sin∠CMD=sin∠EOD=DE／OD=4／5
⒉点M在劣弧CD上时 则AC=AD=2√5 （√表示根号）
RT⊿AED中 sin∠CDA=AE／AD=2／2√5 =√5／5
∵在⊿ACD中 AC∶sin∠CDA=CD ∶sin∠CMD 即2√5 ∶（√5／5）=8∶sin∠CMD
∴10∶1=8∶sin∠CMD ∴sin∠CMD=4／5