关于孙武和庞涓的数学问题鬼谷子把2-99中任意两个数的和告诉了庞涓,又把它们的积告诉了孙武.问他们两个人这两个数分别是什么?庞涓说：“我不知道这两个数是什么,但我肯定孙武你也不

Question

关于孙武和庞涓的数学问题
鬼谷子把2-99中任意两个数的和告诉了庞涓,又把它们的积告诉了孙武.问他们两个人这两个数分别是什么?
庞涓说：“我不知道这两个数是什么,但我肯定孙武你也不知道.”
孙武说：“我本来不知道这两个数,但你这么一说,我就知道了.”
庞涓说：“那么我也知道这两个数了.”
问：这两个数是什么?

Answer 1

题目解答分析：
1、庞涓能确定孙膑肯定不知道这两个数,可以有这样几个推论.
(A)庞涓手上的数字是5-197之间的数字.
(B)庞涓的和数一定不能拆成两个质数之和,否则就不会有确信.这可以分解为两点：
庞涓手上不是偶数,只可能是奇数,因为任意大于4偶数能被拆成两个奇质数之和,这是由歌德巴赫猜想来保证；
并且庞涓手上的奇数不是2+质数.举例：如果庞涓手上是28,可以拆成11+17,当孙膑拿到了181这个积,
马上就可以猜出鬼谷子给他的两个数是11和17,与庞涓肯定孙膑不知道这两个数相矛盾,因此将所有偶数排除.
举例：当庞涓手上的数为质数+2时,例如21,而正好是19+2,那样孙膑手上的数是38,只有一种分解方法2*19,
因此孙膑同样一开始就能确定这两个数字.
(C)庞涓的和数一定不是大于53的奇数.因为大于53的奇数始终能够拆成偶数和53（是质数）的乘积,
这个乘积只能唯一的推断出53和该偶数的乘积,否则就要大于99了.另外97是质数,
同理应该排除97+2到97+98的所有奇数.最后剩下的是99+98的奇数,因为都是最大的数,
孙膑本来就可以推理出来,与孙膑本来不知道的前提相矛盾,自然排除了.
因此由此可以排除超过53以上的所有奇数.举例：如果庞涓手上的数字是59,那有一种可能是53+6,
当孙膑拿到318时也只有一种分解方式是53*6,因为106*3和159*2中的106和159都大于了99这个最大的数字,
因此这与孙膑事先不能肯定相矛盾.同理可以推理到195=97+98这中间的所有奇数都被排除,因为97是质数.
因此,当庞涓手上是53以上的奇数不会有这种把握孙膑肯定不知道这两个数.
(D)满足以上条件的这样的数字仅有10个：11,17,23,27,29,35,37,47,51,53.
2、孙膑知道自己手中的积,并说本来不知道,但现在知道了.意味着,
孙膑看了自己手上的积后分解因式对应的所有组合的和,只可能是上述10个数中的一个.
也就是10个和数拆开的乘积不于其他和数拆开乘积重合的才可能是孙膑的积.
这种积有许多种,关键是庞涓的第三句话.
3、庞涓是知道自己手中的和数,当孙膑说了这句话的时候,庞涓说也知道这两个数字了,
那庞涓手上的和数有一个特点,就是除一个例外的可能积,其他可能的积都无法满足前面所言,
否则庞涓没有这种自信.也就是在10个和数中找出积的数组合中只有唯一一对数可以满足前面的条件.
这时需要结合第二个条件,怎么利用这个条件呢?以17做为例子：
假设分解为3+14,那么积为52,而42=3*14=2*21=6*7,对应的和有17,23,13
而当中的17和23均为候选解,也就是说假如孙膑手上的数是42,他就无法知道正确的分解,
所以17不能分解为3+14.类似地可以构造以下这个可以满足第二条件的分解列表：
11的可能的分(4,7),(3,8),(2,9),
17的可能的分(4,13),
23的可能的分(10,13),(7,16),(4,19),
27的可能的分(13,14),(11,16),(10,17),(9,18),(8,19),(7,20),(5,22),(4,23),(2,25),
29的可能的分(13,16),(12,17),(11,18),(10,19),(8,21),(7,22),(6,23),(4,25),(2,27),
35的可能的分(17,18),(16,19),(14,21),(12,23),(10,25),(9,26),(8,27),(6,29),(4,31),(3,32),
37的可能的分(17,20),(16,21),(10,27),(9,28),(8,29),(6,31),(5,32),
41的可能的分(19,22),(18,23),(17,24),(16,25),(15,26),(14,27),(13,28),(12,29),(10,31),
(9,32),(7,34),(4,37),(3,38),
47的可能的分(23,24),(22,25),(20,27),(19,28),(18,29),(17,30),(16,31),(15,32),(13,34),
(10,37),(7,40),(6,41),(4,43),
53的可能的分(26,27),(25,28),(24,29),(23,30),(22,31),(21,32),(20,33),(19,34),(18,35),
(17,36),(16,37),(15,38),(13,40),(12,41),(10,43),(8,45),(6,47),(5,48),
当中只有17有唯一可行的分解,所以庞涓才可能确定自己手上的数.
所以本问题的答案为4,13