如图，线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则线段AP2014的长度是（3−52）2014（3

Question

如图，线段AB=1，点P₁是线段AB的黄金分割点（AP₁＜BP₁），点P₂是线段AP₁的黄金分割点（AP₂＜P₁P₂），点P₃是线段AP₂的黄金分割点（AP₃＜P₂P₃），…，依此类推，则线段AP₂₀₁₄的长度是

（(3−√(5))/(2)）²⁰¹⁴

（(3−√(5))/(2)）²⁰¹⁴

．

Answer 1

∵点P₁是线段AB的黄金分割点（AP₁＜BP₁），
∴BP₁=(√(5)−1)/(2)AB，
∴AP₁=AB-(√(5)−1)/(2)AB=(3−√(5))/(2)AB=(3−√(5))/(2)；
∵点P₂是线段AP₁的黄金分割点（AP₂＜P₁P₂），
∴AP₂=(3−√(5))/(2)AP₁=（(3−√(5))/(2)）²，
同理可得AP₃=（(3−√(5))/(2)）³，
∴AP₂₀₁₄=（(3−√(5))/(2)）²⁰¹⁴．
故答案为（(3−√(5))/(2)）²⁰¹⁴．