求证直线MQ平行于抛物线的对称轴.过抛物线焦点的一条直线与它交两点P、Q,经过点P和抛物线顶点的直线交准线与点M,

Question

求证直线MQ平行于抛物线的对称轴.
过抛物线焦点的一条直线与它交两点P、Q,经过点P和抛物线顶点的直线交准线与点M,

Answer 1

设抛物线y^2=2px,焦点F(p/2,0),准线x=-p/2.
过F的直线x=ky+p/2,
y^2=2p(ky+p/2),
y^2-2pky-p^2=0
两根为y1,y2,y1+y2=2pk,y1*y2=-p^2.
设P(ky1+p/2,y1),Q(ky2+p/2,y2).
直线OP:(ky1+p/2)y=y1x,
与准线交点M(-p/2,(-py1/2)/(ky1+p/2)),
因为(ky1+p/2)*y2=ky1*y2+py2/2=-kp^2+p(2pk-y1)/2=-py1/2,所以
M的纵坐标=(-py1/2)/(ky1+p/2)=y2=Q的纵坐标,
直线MQ平行于x轴,即抛物线的对称轴.