已知抛物线经过A（2，0）．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求b的值和点P、B的坐标；（2）如图，在直线上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存

Question

已知抛物线 经过 A （2，0）． 设顶点为点 P ，与 x 轴的另一交点为点 B ．

（1）求 b 的值和点 P 、 B 的坐标；
（2）如图，在直线 上是否存在点 D ，使四边形 OPBD 为平行四边形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在 轴下方的抛物线上是否存在点 M ，使△ AMP ≌△ AMB ？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．

Answer 1

（1）顶点 P 的坐标为（4，-2 ）点 B 的坐标是（6，0）. （2）存在；D点的坐标为（2,2 ）（3）可通过证明AM="AM," ∠PAM=∠BAM,AB=AP，证明△AMP≌△AMB.

试题分析： （1）∵抛物线 经过 A （2，0），
∴ ，         
解得 ，
∴抛物线的解析式为 . 
将抛物线配方，得 ，
∴顶点 P 的坐标为（4，-2 ）.          
令 y =0，得 ，解得 .
∴点 B 的坐标是（6，0）.      
（2）在直线 y= x 上存在点 D ，使四边形 OPBD 为平行四边形.
理由如下：设直线 PB 的解析式为 + b ，把 B （6,0）, P (4,-2 )分别代入，得  
解得  
∴直线 PB 的解析式为 .       
又∵直线 OD 的解析式为 ，∴直线 PB ∥ OD .
解法一：设直线 OP 的解析式为 ，把 P (4,-2 )代入，得 ，解得 .
如果OP∥BD，那么四边形 OPBD 为平行四边形.     
设直线 BD 的解析式为 ，将 B (6,0)代入，得0= ，
∴         
∴直线 BD 的解析式为 ，解方程组 得
∴D点的坐标为（2,2 ）    
解法二：过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 C ，则 PC =2 ， AC =2，
由勾股定理，可得 AP =4， PB =4，又∵ AB =4，∴△ APB 是等边三角形∠PBA=∠DOB=60°,
设点D的坐标为（ ， ），得 = ,
∴D点的坐标为（2,2 ）
（3）符合条件的点 M 存在.            
验证如下：过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 C ，则 PC =2 ， AC =2，
由勾股定理，可得AP=4，PB=4，      
又∵AB=4，∴△APB是等边三角形，作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM,BM,由于AM="

作业帮用户 2017-10-07

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