已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；（2）若|AB|=9，求线段AB的中点M到准线的距离．

Question

已知直线l经过抛物线y²=6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
（2）若|AB|=9，求线段AB的中点M到准线的距离．

Answer 1

（1）由y²=6x，准线方程为x=-1.5，焦点F（1.5，0）．
直线l的方程为y-0=tan60°（x-1.5），即y=√(3)x-(3√(3))/(2)．
与抛物线方程联立，消y，整理得4x²-20x+9=0，其两根为x₁，x₂，且x₁+x₂=5．
由抛物线的定义可知，|AB|=p+x₁+x₂=8．
所以，线段AB的长是8．
（2）|AB|=p+x₁+x₂=9，则(|AB|)/(2)=4.5
∴线段AB的中点M到准线的距离为4.5．