如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，DE⊥AC，垂足为点F，连接BF，下列四个结论：①△CEF∽△ACD；②AFCF=2；③sin∠CAD=12；④AB=BF．其中正确的结论有

Question

如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，DE⊥AC，垂足为点F，连接BF，下列四个结论：①△CEF∽△ACD；② (AF)/(CF)=2；③sin∠CAD= (1)/(2)；④AB=BF．其中正确的结论有___（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，AD=BC，BE⊥AC于点F，
∴∠DAC=∠ECF，∠ADC=∠CFE=90°，
∴△CEF∽△ADC，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴(CE)/(AD)=(CF)/(AF)，
∵CE=(1)/(2)BC=(1)/(2)AD，
∴(AF)/(FC)=(AD)/(CE)=2，
∴AF=2CE，故②正确，
设CF=a，AF=2a，由DF²=AF•CF=2a²，得DF=√(2)a，AD=√(AF2+DF2)=√(6)a
∴sinCAD=(DF)/(AD)=(√(2)a)/(√(6)a)=(√(3))/(3)，故③错误．
连接AE，∵∠ABE+∠AFE=90°，
∴A、B、E、F四点共圆，
∴∠AFB=∠AEB，
∵AB=CD，BE=EC，∠CDE，
∴△ABE≌△CDE，
∴∠AEB=∠CED，
∵∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠CED=180°，
∴∠BAF=∠CED，
∴∠BAF=∠BFA，
∴BA=BF，故④正确．
故答案为①②④．