如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，有下列结论：①∠BAE=30°；②S△ABE=4S△ECF；③CF=13CD；④△ABE∽△AEF．正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个

Question

如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，有下列结论：①∠BAE=30°；②S_△ABE=4S_△ECF；③CF=(1)/(3)CD；④△ABE∽△AEF．正确结论的个数是（　　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴(AB)/(EC)＝(BE)/(CF)，
∵BE=CE=(1)/(2)BC，
∴(S△ABE)/(S△ECF)＝ ((AB)/(EC))2 ＝(1)/(4)，
∴S_△ABE=4S_△ECF，故②正确；
∴CF=(1)/(2)EC=(1)/(4)CD，故③错误；
∴tan∠BAE=(BE)/(AB)＝(1)/(2)，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
设CF=a，则BE=CE=2a，AB=CD=AD=4a，DF=3a，
∴AE=2√(5)a，EF=√(5)a，AF=5a，
∴(AE)/(AF)＝(2√(5)a)/(5a)＝(2√(5))/(5)，(BE)/(EF)＝(2a)/(√(5)a)＝(2√(5))/(5)，
∴(AE)/(AF)＝(BE)/(EF)，
∴△ABE∽△AEF，故④正确．
∴②与④正确．
∴正确结论的个数有2个．
故选B．