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(2014•昌平区二模)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,0),B(0,4),对△AOB连续作旋转变化,依次得到三角形①、②、③、④、…,则第⑦个三角形的直角顶点的坐标是;

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(2014•昌平区二模)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,0),B(0,4),对△AOB连续作旋转变化,依次得到三角形①、②、③、④、…,则第⑦个三角形的直角顶点的坐标是______;第17个三角形的直角顶点的坐标是
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5
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)

▼优质解答
答案和解析
∵点B(-3,0),A(0,4),
∴OB=3,OA=4,
∴AB=
32+42
=5,
∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换,
∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态,并且每三次向前移动了3+4+5=12个单位,
而10=3×3+1,
∴第⑦个三角形和第①个三角形的状态一样,则三角形⑦与三角形⑥的直角顶点相同,
∴三角形⑦的直角顶点的横坐标为2×12=24,纵坐标为0;
由题意可得:第17个三角形与第2个三角形状态相同,第15个三角形在x轴上右侧点的坐标为:(60,0),
∵AD×BC=AB×AC,
∴5AD=12,
解得:AD=
12
5

∴BD=
AB2−AD2
=
42−(
12
5
)2
=
16
5

∴A点的横坐标为:60+4+
16
5

∴第17个直角三角形顶点坐标为:(67
1
5
12
5
).
故答案为:(24,0),(67
1
5
12
5
).
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