设函数（Ⅰ）证明对每一个，存在唯一的，满足；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的构成数列，判断数列的单调性并证明；（Ⅲ）对任意，满足（Ⅰ），试比较与的大小.

Question

设函数  
（Ⅰ）证明对每一个 ，存在唯一的 ，满足 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的 构成数列 ，判断数列 的单调性并证明；
（Ⅲ）对任意 ， 满足（Ⅰ），试比较 与 的大小.

Answer 1

设函数  
（Ⅰ）证明对每一个 ，存在唯一的 ，满足 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的 构成数列 ，判断数列 的单调性并证明；
（Ⅲ）对任意 ， 满足（Ⅰ），试比较 与 的大小.

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）数列 单调递减，证明详见解析；（Ⅲ）  ．

试题分析：（Ⅰ）证明对每一个 ，存在唯一的 ，满足 ，只需证明两点，第一证 在 上为单调函数，第二证， 在区间 的端点的函数值异号，本题是高次函数，可用导数法判断单调性，而判断 的符号是，可用放缩法；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的 构成数列 ，判断数列 的单调性，由（Ⅰ）知 在 上递增，只需比较 的大小，由（Ⅰ）知 ，故 ，而 ，从而得到 ，而 ，所以 ，这样就可判断数列 的单调性；（Ⅲ）对任意 ， 满足（Ⅰ），试比较 与 的大小，由（Ⅱ）知数列 单调递减，故 ，即比较 与 的大小，由（Ⅰ）知 ，写出 与 的式子，两式作差即可．本题函数与数列结合出题，体现学科知识交汇点的灵活运用，的确是一个好题，起到把关题的作用．
试题解析：（Ⅰ）  ，显然,当 时, ,故 在 上递增，又 ， ，故存在唯一的

作业帮用户 2016-11-20 举报

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