若关于x的不等式x2+12x-(12)n≥0对任意n∈N*在x∈（-∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是．

Question

若关于x的不等式x2+(1)/(2)x-((1)/(2))n≥0对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是 ___ ．

Answer 1

关于x的不等式x2+(1)/(2)x-((1)/(2))n≥0对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，
等价于x2+(1)/(2)x≥((1)/(2))nmax对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，
∵((1)/(2))nmax=(1)/(2)，
∴x2+(1)/(2)x≥(1)/(2)对 x∈（-∞，λ]恒成立．
设y=x2+(1)/(2)x，它的图象是开口向上，对称轴为x=-(1)/(4)的抛物线，
∴当x≤-(1)/(4)时，左边是单调减的，所以要使不等式恒成立，则λ²+(1)/(2)λ≥(1)/(2)，
解得λ≤-1，或λ≥(1)/(2)（舍）
当x＞-(1)/(4)，左边的最小值就是在x=-(1)/(4)时取到，
达到最小值时，x2+(1)/(2)x=(-(1)/(4))2+(1)/(2)•(-(1)/(4)) =-(1)/(16)，不满足不等式．
因此λ的范围就是 λ≤-1．
故答案为：（-∞，-1]．