已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）．（1）方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式．（2）f（x）的最小值不大于-3a，求实数a的取值范围

Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
（1）方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式．
（2）f（x）的最小值不大于-3a，求实数a的取值范围．

Answer 1

∵f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
故-1，2为方程f（x）=2x，即ax²+（b-2）x+c=0的两个根，且a＞0，
则

1＝−(b−2)/(a)

−2＝(c)/(a)

，即

b＝2−a

c＝−2a

（1）由方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，故ax²+bx+c+3a=0满足：△=0，
即b²-4a（c+3a）=0，
即3a²+4a-4=0
解得：a=(2)/(3)，或a=-2（舍），
故

b＝(4)/(3)

c＝−(4)/(3)

故f（x）=(2)/(3)x²+(4)/(3)x-(4)/(3)，
（2）由f（x）的最小值不大于-3a，
可得(4ac−b2)/(4a)≤-3a，
即3a²+4a-4≤0，
解得：-2≤a