一个二元一次不定方程的通解问题若二元一次不定方程ax+by=c有一组整数解为（x0,y0)且（a,b)=1,则其通解为x=x0+bt,y=y0-at（t为任意整数）.这个（a,还有怎么能判定有无整数解?

Question

一个二元一次不定方程的通解问题
若二元一次不定方程ax+by=c有一组整数解为（x0,y0)且（a,b)=1,则其通解为x=x0+bt,y=y0-at （t为任意整数）.这个（a,还有怎么能判定有无整数解?

Answer 1

（a,b)=1是a,b互素.证明：既然x0,y0是(1)式的整数解,当然满足ax0+by0=c,因此 a(x0+bt)+b(y0-at)=ax0+by0=c.
这表明x=x0+bt,y=y0-at 式是ax+by=c式的解.
设x',y'是(1)式的任一整数解,则有ax'+by'=c,减去ax0+by0=c,即得
a(x'-x0)+b(y'-y0)=0
a(x'-x0)=-b(y'-y0)
由上式和(a,b)=1,故由上面所列引理我们有b|(x'-x0),即x'=x0+at其中t是一个整数.将x'=x0+at代入a(x'-x0)=-b(y'-y0),即得y'-y0=-bt,y'=y0-bt,因此x',y'是ax+by=c的一切整数解,因此以上命题得证.