在平面直角坐标系中,任意一个二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线,那么,在空间直角坐标系中,任意一个三元一次方程Ax+By+Cz=D表示什么图形呢?(1)设有点A(1,2,3)和B(2,-1,4)
(1)设有点A(1,2,3)和B(2,-1,4),求得两点距离相等的点P满足的方程,并指出方程表示什么图形;
(2)在空间直角坐标系中,任意一个三元一次方程Ax+By+Cz=D(A、B、C不同时为零)都表示什么图形.
【探究】 ①依题意,设M(x y z)为所求到A和B等距离的点,
由于|AM|=|BM|,
所以
等式两边平方,化简得2x-6y-2z-7=0
这就是所求的平面方程,表示线段AB的垂直平分面.
②可以证明,在空间直角坐标系中,任意一个三元一次方程Ax+By+Cz=D(A、B、C不同时为零)都表示一个平面;反过来,任意一个平面的方程都是一个三元一次方程.
【规律总结】 对于特列的三元一次方程,
x=a 表示平行于xOz面的平面,且与yOz面的距离为|a|;
y=b 表示平行于xOz面的平面,且与yOz面的距离为|b|;
z=c 表示平行于xOz面的平面,且与yOz面的距离为|c|;
x=0 y=0 z=0分别表示yOz xOz xOy三个坐标平面.
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