（2013•奉贤区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，联结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．（1）若ED＝BE

Question

（2013•奉贤区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，联结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．

（1）若

ED

＝

BE

，求∠F的度数；
（2）设CO=x，EF=y写出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．

Answer 1

（1）连接OE．
∵

ED

=

BE

，
∴∠BOE=∠EOD
∵OD∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；

（2）作OH⊥BE，垂足为H．
在△HBO和△COD中，

∠DCO＝∠OHB＝90°

∠OBE＝∠COD

OB＝OD

，
∴△HBO≌△COD（AAS），
∴CO=BH=x，
∴BE=2x，
∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴(OD)/(BF)＝(OC)/(BC)，
∴(4)/(2x+y)＝(x)/(4+x)，
∴y=(4x+16−2x2)/(x)（0＜x＜4）；

（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，
∴∠COD=∠DOE，
∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，
若△PBE为等腰三角形，
设CO=x，
∴OP=OC=x，
则PE=OE-OP=4-x，
由（2）得：BE=2x，
①当PB=PE，不合题意舍去；
②当EB=EP，2x=4-x，
解得：x=(4)/(3)，
③当BE=BP，作BM⊥OE，垂足为M，
∴EM=(1)/(2)PE=(4−x)/(2)，
∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，
∴△BEM∽△DOC，
∴(BE)/(DO)＝(EM)/(OC)，
∴(2x)/(4)＝((4−x)/(2))/(x)，
整理得：x²+x-4=0，
解得：x=(−1±√(17))/(2作业帮用户2017-09-18问题解析（1）首先连接OE，由ED＝BE，OD∥BF，易得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，又由CF⊥AB，即可求得∠F的度数；（2）作OH⊥BE，垂足为H，易得△HBO≌△COD，即可得CO=BH=x，求得BE=2x，易得△COD∽△CBF，然后由相似三角形的对应边成比例，可得(4)/(2x+y)＝(x)/(4+x)，则可求得y与x之间的函数解析式；（3）由∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，可得∠COD=∠DOE，即可得C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，然后分别从PB=PE，EB=EP，BE=BP去分析求解即可求得答案．名师点评本题考点：圆的综合题．考点点评：此题考查了圆的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)