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如图,已知P是等边△ABC的BC边上任意一点,过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD,垂足为E、D.问:△AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系?
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如图,已知P是等边△ABC的BC边上任意一点,过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD,垂足为E、D.问:△AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系?
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5bafa40f4bfbfbed249b62fd7bf0f736aec31f75.jpg)
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▼优质解答
答案和解析
△AED的周长与四边形EBCD的周长相等.理由如下:
在等边△ABC中,∠B=∠C=60°,
∵PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,
∴∠BPE=∠CPD=30°.
不妨设等边△ABC的边长为1,BE=x,CD=y,那么BP=2x,PC=2y,
∵2x+2y=1,
∴x+y=
,
∵AE=1-x,AD=1-y,
∴AE+AD=2-(x+y)=
,
又∵BE+CD+BC=(x+y)+1=
,
∴AD+AE=BE+BC+CD,
∴AD+AE+DE=BE+BC+CD+DE,
即△AED的周长与四边形EBCD的周长相等.
在等边△ABC中,∠B=∠C=60°,
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∴∠BPE=∠CPD=30°.
不妨设等边△ABC的边长为1,BE=x,CD=y,那么BP=2x,PC=2y,
∵2x+2y=1,
∴x+y=
1 |
2 |
∵AE=1-x,AD=1-y,
∴AE+AD=2-(x+y)=
3 |
2 |
又∵BE+CD+BC=(x+y)+1=
3 |
2 |
∴AD+AE=BE+BC+CD,
∴AD+AE+DE=BE+BC+CD+DE,
即△AED的周长与四边形EBCD的周长相等.
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