设点F为抛物线y2=4x的焦点，A，B是抛物线上两点，线段AB的中垂线交x轴于点D（5，0），则|AF|+|BF|=（）A.5B.6C.8D.10

Question

设点F为抛物线y²=4x的焦点，A，B是抛物线上两点，线段AB的中垂线交x轴于点D（5，0），则|AF|+|BF|=（　　）

A. 5

B. 6

C. 8

D. 10

Answer 1

方法一：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
则丨AF丨+丨BF丨=x₁+(p)/(2)+x₂+(p)/(2)=x₁+x₂+2，
由线段AB的中垂线交x轴于点D（5，0），则丨AD丨=丨BD丨，
（x₁-5）²+y₁²=（x₂-5）²+y₂²，整理得：（x₁+x₂-10）（x₁-x₂）=y₂²-y₁²=4（x₂-x₁），
x₁+x₂-10=-4，x₁+x₂=6，
∴|AF|+|BF|=8．
故选C．
方法二：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
则丨AF丨+丨BF丨=x₁+(p)/(2)+x₂+(p)/(2)=x₁+x₂+2，
则AB的中点坐标为：（(x1+x2)/(2)，(y1+y2)/(2)），
由

y

2 1

=4x1

y

2 2

=4x2

，整理得：（y₂-y₁）（y₂+y₁）=4（x₂-x₁），
直线AB的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=(4)/(y1+y2)，则直线AB的中垂线的斜率-(y1+y2)/(4)，
中垂线方程y-(y1+y2)/(2)=-(y1+y2)/(4)（x-(x1+x2)/(2)），
将D（5，0），代入，解得：x₁+x₂=6，
∴|AF|+|BF|=8．
故选C．