Taylor定理的应用设f（x）在[a,b]二阶可导,且f’（a）=f’（b）=0.证明：存在ξ∈（a,b）使得|f''(ξ)|≥4|f（b）-f（a）|/（b-a）²

Question

Taylor定理的应用
设f（x）在[a,b]二阶可导,且f ’（a）=f ’（b）=0.证明：存在ξ∈（a,b）使得
|f''(ξ)|≥4|f（b）-f（a）|/（b-a）²

Answer 1

用Taylor公式
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(ξ1)(x-a)^2/2
f(x)=f(b)+f'(b)(x-b)+f''(ξ2)(x-b)^2/2
x=(a+b)/2分别代入
f((a+b)/2)=f(a)+f''(ξ1)[(b-a)^2]/8
f((a+b)/2)=f(b)+f''(ξ2)[(b-a)^2]/8
相减得：f''(ξ1)[(b-a)^2]-f''(ξ2)[(b-a)^2=8[f(b)-f(a)]
[f''(ξ1)-f''(ξ2)]/2=4[f(b)-f(a)]/(b-a)^2
利用|u|+|v|≥|u-v|
[|f''(ξ1)|+|f''(ξ2)|]/2≥4[f(b)-f(a)]/(b-a)^2
取|f''(ξ）|=max{|f''(ξ1)|,|f''(ξ2)|}
所以有|f''(ξ)|≥4|f（b）-f（a）|/（b-a）²