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问题情境如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD•AB,这个结论我们称之为射影定理,试证明这个定理;结论运用如图2,正方形ABCD的边长为6,
题目详情
【问题情境】如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD•AB,这个结论我们称之为射影定理,试证明这个定理;
【结论运用】如图2,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,
(1)试利用射影定理证明△BOF∽△BED;
(2)若DE=2CE,求OF的长.
【结论运用】如图2,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,
(1)试利用射影定理证明△BOF∽△BED;
(2)若DE=2CE,求OF的长.
▼优质解答
答案和解析
【问题情境】
证明:如图1,
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
而∠CAD=∠BAC,
∴Rt△ACD∽Rt△ABC,
∴AC:AB=AD:AC,
∴AC2=AD•AB;
【结论运用】
(1)证明:如图2,
∵四边形ABCD为正方形,
∴OC⊥BO,∠BCD=90°,
∴BC2=BO•BD,
∵CF⊥BE,
∴BC2=BF•BE,
∴BO•BD=BF•BE,
即
=
,
而∠OBF=∠EBD,
∴△BOF∽△BED;
(2)∵BC=CD=6,
而DE=CE,
∴DE=4,CE=2,
在Rt△BCE中,BE=
=2
,
在Rt△OBC中,OB=
BC=3
,
∵△BOF∽△BED,
∴
=
,即
=
,
∴OF=
.
证明:如图1,
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
而∠CAD=∠BAC,
∴Rt△ACD∽Rt△ABC,
∴AC:AB=AD:AC,
∴AC2=AD•AB;
【结论运用】
(1)证明:如图2,
∵四边形ABCD为正方形,
∴OC⊥BO,∠BCD=90°,
∴BC2=BO•BD,
∵CF⊥BE,
∴BC2=BF•BE,
∴BO•BD=BF•BE,
即
BO |
BE |
BF |
BD |
而∠OBF=∠EBD,
∴△BOF∽△BED;
(2)∵BC=CD=6,
而DE=CE,
∴DE=4,CE=2,
在Rt△BCE中,BE=
22+62 |
10 |
在Rt△OBC中,OB=
| ||
2 |
2 |
∵△BOF∽△BED,
∴
OF |
DE |
BO |
BE |
OF |
4 |
3
| ||
2
|
∴OF=
6
| ||
5 |
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