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问题情境如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD•AB,这个结论我们称之为射影定理,试证明这个定理;结论运用如图2,正方形ABCD的边长为6,

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【问题情境】如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD•AB,这个结论我们称之为射影定理,试证明这个定理;
【结论运用】如图2,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,
(1)试利用射影定理证明△BOF∽△BED;
(2)若DE=2CE,求OF的长.
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答案和解析
【问题情境】作业帮
证明:如图1,
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
而∠CAD=∠BAC,
∴Rt△ACD∽Rt△ABC,
∴AC:AB=AD:AC,
∴AC2=AD•AB;
【结论运用】
(1)证明:如图2,
∵四边形ABCD为正方形,
∴OC⊥BO,∠BCD=90°,
∴BC2=BO•BD,
∵CF⊥BE,
∴BC2=BF•BE,
∴BO•BD=BF•BE,
BO
BE
=
BF
BD

而∠OBF=∠EBD,
∴△BOF∽△BED;
(2)∵BC=CD=6,
而DE=CE,
∴DE=4,CE=2,
在Rt△BCE中,BE=
22+62
=2
10

在Rt△OBC中,OB=
2
2
BC=3
2

∵△BOF∽△BED,
OF
DE
=
BO
BE
,即
OF
4
=
3
2
2
10

∴OF=
6
5
5
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