定积分证明题设x>0,证明∫1/(1+t^2)+∫1/(1+t^2)=π/2注：两个积分式的上下线分别是0x和01/x答案上的解法是：记f（x）=左边则f‘（x）=1/（1+x^2）+1/(1+1/x^2)*(-1/x^2)=0由拉格朗日中值定理推论得f（

Question

定积分证明题
设x>0,证明∫1/(1+t^2)+∫1/(1+t^2) =π/2 注：两个积分式的上下线分别是0x和01/x
答案上的解法是：记f（x）=左边 则f‘（x）=1/（1+x^2）+1/(1+ 1/x^2)*(-1/x^2)=0 由拉格朗日中值定理推论得f（x）恒等于C （x>0）
而f（1）带入原式易得f（1）=π/2 故C=π/2 从而结论成立
请问没什么不能直接解原式左边得arctanx+arctan1/x恒等于π/2呢?我的解法是不是忽略了什么条件啊?

Answer 1

楼主的解法是建立在牛顿莱布尼茨公式的基础上的,虽然计算简单,但起点较高,需要满足的条件较多.而答案的解法直接从要求条件较低的导数和拉格朗日中值定理推出结果,可以说更保险!