已知三角形ABC的内角A,B,C所对边的长依次为a,b,c,若cosA=3/4,cosC=1/81.求a:b:c2.若|方向AC+方向BC|=根号46,求三角形ABC的面积.

Question

已知三角形ABC的内角A,B,C所对边的长依次为a,b,c,若cosA=3/4,cosC=1/8
1.求a:b:c
2.若|方向AC+方向BC|=根号46,求三角形ABC的面积.

Answer 1

（1）
cosA=3/4,cosC=1/8
那么sinA=√[1-(cosA)^2]=√7/4
sinC=√[1-(cosC)^2]=3√7/8
∴sinB=sin(A+C)
=sinAcosC+cosAsinC
=√7/4*1/8+3/4*3√7/8
=5√7/16
根据正弦定理
a:b:c=sinA:sinB:sinC
=(√7/4):(5√7/16]:(3√7)/8
=（1/4):(5/16):(3/8)
=4:5:6
（2）
|向量AC+BC|=√46
两边平方
|AC|^2+|BC|^2+2AC·BC=46
∴b^2+a^2+2abcosC=46
∴b^2+a^2+1/4ab=46
又a:b=4:5
设比的每一份为t
则25t^2+16t^2+5t^2=46
∴t^2=1
∴ab=20t^2=20
∴SΔABC=1/2absinC
=10*3√7/8
=15√7/4