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自然数360可以分解为两个自然数x、y的乘积,其中x有m个因数,y有n个因数,已知m+n=13且m>n.那么,m与n的差是.
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自然数360可以分解为两个自然数x、y的乘积,其中x有m个因数,y有n个因数,已知m+n=13且m>n.那么,m与n的差是______.
▼优质解答
答案和解析
360=2×2×2×3×3×5=23×32×5.
由于m、n都是正整数,且m+n=13,
可见m、n中必有一个是偶数,而另一个是奇数,又具有奇数个因数的数必是完全平方数,
因此x、y中必有一个是完全平方数.
360的因数中,是完全平方数的因数只有:22、32、22×32.
(1)22只有3个因数,故y=2×2=4,x=2×32×5=90,
易知n=3,m=(1+1)×(2+1)×(1+1)=12,3+12=15,不合题意;
(2)32也只有3个因数,故y=32=9,x=23×5=40,
易知n=3,m=(3+1)×(1+1)=8,3+8=11,不合题意
(3)22×32有(2+1)×(2+1)=9个因数,故x=22×32=36,y=2×5=10,
易知n=(1+1)×(1+1)=4,m=9,9+4=13符合题意.
此时有m-n=9-4=5.
故答案为:5.
由于m、n都是正整数,且m+n=13,
可见m、n中必有一个是偶数,而另一个是奇数,又具有奇数个因数的数必是完全平方数,
因此x、y中必有一个是完全平方数.
360的因数中,是完全平方数的因数只有:22、32、22×32.
(1)22只有3个因数,故y=2×2=4,x=2×32×5=90,
易知n=3,m=(1+1)×(2+1)×(1+1)=12,3+12=15,不合题意;
(2)32也只有3个因数,故y=32=9,x=23×5=40,
易知n=3,m=(3+1)×(1+1)=8,3+8=11,不合题意
(3)22×32有(2+1)×(2+1)=9个因数,故x=22×32=36,y=2×5=10,
易知n=(1+1)×(1+1)=4,m=9,9+4=13符合题意.
此时有m-n=9-4=5.
故答案为:5.
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