要使管道里的液体作匀速运动，必须在管道两端有一个压强差△p，现有一根长为L，半径为r的水平直圆管，单位时间内通过管道截面的液体体积称为流量Q，已知流量Q与L、R、△p有关，还和

Question

要使管道里的液体作匀速运动，必须在管道两端有一个压强差△p，现有一根长为L，半径为r的水平直圆管，单位时间内通过管道截面的液体体积称为流量Q，已知流量Q与L、R、△p有关，还和液体的黏度η有关，η的单位是Pa•s．
（1）已知Q=kr^αη^β（(△p)/(L)）^γ，其中k是一个没有单位的常数，所有力学量的单位都是由三个基本物理量（质量、长度、时间）的单位组合而成，请根据等式两边单位应相同的原则，求出α、β、γ的值．
（2）实验求得（1）题中的k=(π)/(8)，设成年人主动脉的半径约为r=1.3×10^-2m，主动脉的血流量为100mL/s，血液的黏度为4.0×10^-3Pa•s，试求在一段0.2m长的主动脉中两端的压强差△p，并分析当病人患有动脉粥样硬化（相当于血管内径变小）后对人体健康的影响．

Answer 1

（1）Q的单位为米³/秒（(m3)/(s)），r的单位是米（m），
η的单位是Pa•s=(N)/(m2)•s=(kg•m/s2)/(m2)•s=(kg)/(m•s2)•s=(kg)/(m•s)，
(△p)/(L)=(Pa)/(m)=(N)/(m3)=(kg•m/s2)/(m3)=(kg)/(s2•m2)，
则(m3)/(s)=m^α（(kg)/(m•s)）^β（(kg)/(s2•m2)）^γ=m^α-β-2γkg^β+γs^-α-2γ，
所以，3=α-β-2γ，-1=-β-2γ，β+γ=0，
联立解得：α=4，β=-1，γ=1；
（2）由Q=kr⁴η^-1（(△p)/(L)）=(kr4△p)/(ηL)可得：
△p=(QηL)/(kr4)=(100×10−6m3/s×4.0×10−3Pa•s×0.2m)/((π)/(8)×(1.3×10−2m)4)≈7.136Pa，
当病人患有动脉粥样硬化后，血管内径变小，要维持正常的血流量，需要增加血管两端的压强差，引起高血压，加大心脏负担，还会进一步影响身体其他方面的健康．
答：（1）α、β、γ的值依次为4、-1、1；
（2）主动脉中两端的压强差为7.136Pa，当病人患有动脉粥样硬化后，血管内径变小，要维持正常的血流量，需要增加血管两端的压强差，引起高血压，加大心脏负担，还会进一步影响身体其他方面的健康．