早教吧作业答案频道 -->数学-->
定义已知P为△ABC所在平面内一点,连接PA,PB,PC,在△PAB,△PBC和△PAC中,若存在一个三角形与△ABC相似(全等除外),那么就称P为△ABC的“共相似点”,根据“共相似点”是否落在
题目详情
【定义】已知P为△ABC所在平面内一点,连接PA,PB,PC,在△PAB,△PBC和△PAC中,若存在一个三角形与△ABC相似(全等除外),那么就称P为△ABC的“共相似点”,根据“共相似点”是否落在三角形的内部,边上或外部,可将其分为“内共相似点”,“边共相似点”或“外共相似点”.
(1)据定义可知,等边三角形___(填“存在”或“不存在”)共相似点.
【探究1】用边共相似点探究三角形的形状
(2)如图1,若△ABC的一个边共相似点P与其对角顶点B的连线,将△ABC分割成的两个三角形恰与原三角形均相似,试判断△ABC的形状,并说明理由.
【探究2】用内共相似点探究三角形的内角关系
(3)如图2,在△ABC中,∠A<∠B<∠C,高线CD与角平分线BE交于点P,若P是△ABC的一个内共相似点,试说明点E是△ABC的边共相似点,并直接写出∠A的度数.
【探究3】探究直角三角形共相似点的个数
(4)如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=
,若△PBC与△ABC相似,则满足条件的P点共有___个,顺次连接所有满足条件的P点而围成的多边形的周长为___.
(1)据定义可知,等边三角形___(填“存在”或“不存在”)共相似点.
【探究1】用边共相似点探究三角形的形状
(2)如图1,若△ABC的一个边共相似点P与其对角顶点B的连线,将△ABC分割成的两个三角形恰与原三角形均相似,试判断△ABC的形状,并说明理由.
【探究2】用内共相似点探究三角形的内角关系
(3)如图2,在△ABC中,∠A<∠B<∠C,高线CD与角平分线BE交于点P,若P是△ABC的一个内共相似点,试说明点E是△ABC的边共相似点,并直接写出∠A的度数.
【探究3】探究直角三角形共相似点的个数
(4)如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=
| 3 |
▼优质解答
答案和解析
(1)根据“共相似点”的定义得:等边三角形不存在共相似点.
故答案为:不存在;
(2)△ABC是直角三角形,理由如下:
根据题意得:△ABP∽△ACB,
∴∠ABP=∠C,
同理得:∠CBP=∠A,
∴∠ABC=∠A+∠C=180°-∠ABC,
解得:∠ABC=90°,
∴△ABC是直角三角形;
(3)根据题意得:△PBC∽△CAB,
∴∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠PBC,
∴∠A=∠ABE=∠PBC,
∴∠PCB=∠ABC=2∠A=2∠PBC,
∵∠BCE=∠ACB,∠PBC=∠A,
∴△BEC∽△ABC,
∴点E是△ABC的边共相似点;
∵CD是△ABC的高,
∴∠CDB=90°,
∴∠PCB+∠ABC=90°,
∴2∠A+2∠A=90°,
解得:∠A=22.5°;
(4)作CP⊥AB于P,则P为△ABC的“共相似点”;
过B作BC的垂线与CP的延长线的交点是△ABC的“共相似点”;
作∠ABC的平分线与AC的交点P1是△ABC的“共相似点”;
过C作BP1的垂线,垂足是△ABC的“共相似点”;
同理:以上四个△ABC的“共相似点”关于直线BC的对称点是△ABC的“共相似点”;
∴△ABC的“共相似点”共有8个,如图所示:
根据等边三角形的性质和直角三角形的性质得:顺次连接所有满足条件的P点而围成的多边形的周长为 2×2+4×
+2×
=6+
;
故答案为:8;6+
.
故答案为:不存在;
(2)△ABC是直角三角形,理由如下:
根据题意得:△ABP∽△ACB,
∴∠ABP=∠C,
同理得:∠CBP=∠A,
∴∠ABC=∠A+∠C=180°-∠ABC,
解得:∠ABC=90°,
∴△ABC是直角三角形;
(3)根据题意得:△PBC∽△CAB,
∴∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠PBC,
∴∠A=∠ABE=∠PBC,
∴∠PCB=∠ABC=2∠A=2∠PBC,
∵∠BCE=∠ACB,∠PBC=∠A,
∴△BEC∽△ABC,
∴点E是△ABC的边共相似点;
∵CD是△ABC的高,
∴∠CDB=90°,
∴∠PCB+∠ABC=90°,
∴2∠A+2∠A=90°,
解得:∠A=22.5°;
(4)作CP⊥AB于P,则P为△ABC的“共相似点”;
过B作BC的垂线与CP的延长线的交点是△ABC的“共相似点”;
作∠ABC的平分线与AC的交点P1是△ABC的“共相似点”;
过C作BP1的垂线,垂足是△ABC的“共相似点”;
同理:以上四个△ABC的“共相似点”关于直线BC的对称点是△ABC的“共相似点”;
∴△ABC的“共相似点”共有8个,如图所示:
根据等边三角形的性质和直角三角形的性质得:顺次连接所有满足条件的P点而围成的多边形的周长为 2×2+4×
1 |
2 |
| ||
2 |
3 |
故答案为:8;6+
3 |
看了 定义已知P为△ABC所在平面...的网友还看了以下:
一道三角形相似的题目等腰三角形ABC中,AB=AC=8(A为顶点,B在左,C右).角BAC=120° 2020-03-30 …
已知P(A)=0.4,P(B)=0.6,P(A)+P(B)=1,P(C)=0.7,P(D)=0.3 2020-04-25 …
如图,椭圆E:x^2/100+y^2/25=1的上顶点为A,直线y=-4交椭圆E于点B,C(点B在 2020-05-16 …
条件概率问题,已知P(A),P(B|A),P(C|A),能否求得P(C|A,B)?写错了,是已知P 2020-06-13 …
c语言指针~~求解~若有以下定义,使指针P指向数组元素e,以下赋值语句正确的是charc[7]={ 2020-07-22 …
已知三个两两夹角为60°不共面向量a,b,c,|a|=|b|=|c|=2,向量p=xa+yb+zc, 2020-10-31 …
2一铁块压着一纸条放在水平桌面上,当以速度V抽出纸条后,铁块掉在地上的P点.若以2V速度抽出纸条,则 2020-11-20 …
条件概率公式中P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)中A、B、C分别表示什么?哪两个是互斥条件 2020-12-01 …
概率论问题已知p(a)=p(b)=p(c)=0.25,p(ab)=0,p(ac)=p(bc)=1/1 2020-12-13 …
已知二次函数y=1/2x^2-x-3/2的图像经过点A(-3,6),并与x轴交于B,C两点(点B在点 2021-01-10 …