在边长为一的正方形中任意放置5个点求证：其中至少有两个点,其距离不大于2分之根号下五没有图片）（—o—）（错了错了距离不大于2分之根号下二

Question

在边长为一的正方形中任意放置5个点
求证：其中至少有两个点,其距离不大于2分之根号下五
没有图片）（—o—）（
错了错了 距离不大于2分之根号下二

Answer 1

简解 设正方形ABCD的边长为1,AB,BC,CD,DA的中点分别为P,Q,R,S.
连PR,QS,两线段交于O.
显然O是正方形ABCD的中心,四边形APOS,BQOP,CROQ,DSOR都是边长为1/2的正方形.
由于五个点M1,M2,M3,M4,M5都在大正方形ABCD内,故至少有两个在同一个小正方形内.
由于小正方形内,包括内侧边界任意两点间的距离以其相对的两顶点问距离为最大,而小正方形的边长为1/2,其对角线的长为√(1/2).
因此在边长为1的正方形内任意放置5个点,证明一定可以找到两个点,其距离不超过√(1/2).