如图，在O中，E是弧AB的中点，C为O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=23r（r是O的半径）．（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与O相切；（2）求证：EF•EC=r2．

Question

如图，在 O中，E是弧AB的中点，C为 O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=(2)/(3)r（r是 O的半径）．

（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与 O相切；
（2）求证：EF•EC=r²．

Answer 1

（1）证明：如图1，连结OC、OE，OE交AB于H，
∵E是弧AB的中点，
∴OE⊥AB．
∴∠EHF=90°．
∴∠HEF+∠HFE=90°．
∵∠HFE=∠CFD，
∴∠HEF+∠CFD=90°．
∵DC=DF，
∴∠CFD=∠DCF．
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC．
∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°．
∴OC⊥CD．
∴直线DC与 O相切．
（2）证明：连结BC，
∵E是弧AB的中点，
∴

AE

=

BE

．
∴∠ABE=∠BCE．
∵∠FEB=∠BEC，
∴△EBF∽△ECB．
∴EF：BE=BE：EC，
∴EF•EC=BE²=（(2)/(3)r）²=(4)/(9)r²．