抽象代数,有限群,阿贝尔群G是一个有限的阿贝尔群,阶数为n.对于所有n的除数m,$x^m=e$最多只有m个解.证明G是一个循环群.提示：以$\psi(m)$表示所有阶数为m的元素个数,$\phi(m)$为欧拉方程,先

Question

抽象代数,有限群,阿贝尔群
G 是一个有限的阿贝尔群,阶数为n.对于所有n的除数m,$x^m=e$ 最多只有m个解.证明G是一个循环群.【提示：以$\psi (m)$ 表示所有阶数为m的元素个数,$\phi (m)$为欧拉方程,先证明$\psi (m)\leq \phi (m)$,然后利用$n=\Sigma_{m|n}\phi(m)$证得命题】本人已证明$\Sigma_{d|n}\psi(d)-\phi(d)=0$.因而只要证得$\forall m|n,\psi (m)\leq \phi (m)$,则$\forall d|n,\psi(d)=\phi(d)$,因而$\psi(n)=\phi(n)\neq 0$,则G至少拥有一个生成元,G唯一循环群.本人暂不能证明$\psi (m)\leq \phi (m)$,然而得出了于此似乎矛盾的结论：令$\psi (m)\neq 0,m\neq 1$,则 存在$a\in G,|a|=m$.审查其生成的循环群：对任意$a^i\in $,$a^i$ 为 $$ 的生成元当且仅当$i$ 与 $m$ 互质.因而在$$当中应有$\phi (m)$ 个阶数为$m$ 的元素.而在循环群$$之外可能有某些元素结束同样为$m$ 因而$\psi (m)\geq \phi (m)$.
百度知道生成不了 Latex,用mathtype应该可以的,复制粘贴到软件剪切板就可以了

Answer 1

我的LaTeX似乎不支持中文,我就愣敲土话了.
实际上,这种情况就应该是\psi(m) = \phi(m).\leq 和 \geq 实际上都是对的.
这个提示的意思大概是这样的.看这个G里有多少个m阶元.如果x是个m阶元的话,那么它是x^m=e的解,这些解里面有阶数更小的.假如有一个m阶元（没有m阶元的话就不用说了）,记作a,让H是它生成的子群,那么H里有m个元素,它们全是x^m=e的解,而已知x^m=e最多只有m个解,所以H以外不能再有x^m=e的解了,自然就更不能有别的m阶元了.所以所有的m阶元都在H里.就像你说的H里面的元素a^i,当i和m不互素的时候,不是m阶元,而是更低阶元,所以至多有 \phi(m) 那么多个m阶元,也就是psi(m)