设集合Sn={1，2，3…n}，若X是Sn的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集．（Ⅰ）写出S4的所有奇子集；（Ⅱ）

Question

设集合S_n={1，2，3…n}，若X是S_n的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为S_n的奇（偶）子集．
（Ⅰ） 写出S₄的所有奇子集；
（Ⅱ） 求证：S_n的奇子集与偶子集个数相等；
（Ⅲ）求证：当n≥3时，S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可知，当n=4时，s₄={1，2，3，4}，
∵X的容量为奇数，则X为S_n的奇子集，
∴所有的奇子集应为为{1}、{3}、{1，2}、{1，4}、{3，4}、{2，3}、{1，2，4}、{2，3，4}；
（Ⅱ）证明：设S为S_n的奇子集，令T=

S∪1，若1∉S

S{1，若1∈S

，
则T是偶子集，A→T是奇子集的集到偶子集的一一对应，而且每个偶子集T，均恰有一个奇子集，S=

T∪1，若1∉T

T{1，若1∈T

与之对应，
故S_n的奇子集与偶子集个数相等；
（Ⅲ）对任一i（1≤i≤n），含i的子集共有2^n-1个，用上面的对应方法可知，
在i≠1时，这2^n-1个子集中有一半时奇子集，
在i=1时，由于n≥3，将上边的1换成3
，同样可得其中有一半时奇子集，
于是在计算奇子集容量之和时，元素i的贡献是2^n-2i，
∴奇子集容量之和是

n

i＝1

2n−2i=n（n+1）•2^n-3，
根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等，
故当n≥3时，S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．